Maßtheorie

Hier findest du die deutsche Videos zur Maßtheorie.

Teil 1 - Sigma-Algebra

Wir lernen was eine Sigma-Algebra ist, da wir diese für die Konstruktion von Maßen benötigen werden.


YouTube YouTube Dark PDF Quiz


Im nächsten Video lernen wir, wie wir Sigma-Algebren bilden.

Part 2 - Borel’sche Sigma-Algebra

Nun können wir über spezielle Sigma-Algebren sprechen. Die wichtigste ist die sogenannte Borel’sche Sigma-Algebra. Diese wird im allgemeinen mit topologischen Räumen oder metrischen Räumen definiert. Insbesondere hat die reelle Zahlengerade $ \mathbb{R} $$ eine wohldefinierte Borel-Sigma-Algebra.


YouTube YouTube Dark PDF Quiz


 

Part 3 - Was ist ein Maß?

Jetzt können wir endlich die Definition eines Maß geben. Diese benötigt eine Sigma-Algebra als Definitionsbereich.


YouTube YouTube Dark PDF Quiz


 

Part 4 - Nicht alles ist Lebesgue-messbar

Das nächste Video greift das Maßproblem wieder auf und zeigt, warum wir wirklich mit Sigma-Algebren hantieren müssen. Für das gewünschte Lebesgue-Maß mit notwendigen Eigenschaften können nicht alle Mengen meßbar sein. Genau eine solche nicht-meßbare Menge konstruieren wir in diesem Video.


YouTube YouTube Dark PDF Quiz


 

Part 5 - messbare Abbildungen

Ein wichtiger Begriff für die Integration ist gegeben durch sogenannte messbare Abbildungen. Diese kann man allgemein definieren und erklären grob einfach, dass die Struktur der Sigma-Algebren durch die Abbildung berücksichtigt wird. Diese Abbildungen werden später diejenigen sein, die wir integrieren können.


YouTube YouTube Dark PDF


 

Part 6 - Lebesgue-Integral

Nach der ganzen Vorarbeit sind wir nun an dem Punkt, an welchem wir endlich das Integral definieren können. Zur Unterscheidung des klassischen Riemann-Integrals werden wir hier nun von dem Lebesgue-Integral sprechen.


YouTube YouTube Dark PDF


 

Part 7 - Integraleigenschaften und Satz von der monotonen Konvergenz

Der Integralbegriff, den wir definiert haben, hat viele hilfreiche Eigenschaften, die auch leicht zu zeigen sind. Des Weiteren werden wir hier auch den wichtigen Satz der monotonen Konvergenz besprechen.


YouTube YouTube Dark PDF


 

Part 8 - Satz von der monotonen Konvergenz (Beweis)

Nachdem wir den Satz der monotonen Konvergenz beschrieben haben, können wir uns auch an einem Beweis versuchen.


YouTube YouTube Dark PDF


 

Part 9 - Lemma von Fatou

Man sollte sich nicht von dem Namen täuschen lassen. Dieses Lemma ist richtiges Konvergenztheorem, was man sich auf jeden Fall merken sollte.


YouTube YouTube Dark PDF


 

Part 10 - Satz von Lebesgue oder Satz von der majorisierten Konvergenz

Das nächste Konvergenztheorem trägt oft nur den Namen von Lebesgue und zeigt damit auch die Wichtigkeit aus. Um dieses anzuwenden brauchen wir eine sogenannte integrierbare Majorante.


YouTube YouTube Dark PDF


 

Part 11 - Beweis des Satzes von Lebesgue

Jetzt sind wir soweit, den Beweis des Satzes von der majorisierten Konvergenz aufschreiben zu können.


YouTube PDF


 

Part 12 - Fortsetzungssatz von Carathéodory


YouTube PDF


 

Part 13 - Lebesgue-Stieltjes-Maße


YouTube PDF


 

Part 14 - Satz von Radon-Nikodým und Zerlegungssatz von Lebesgue


YouTube PDF


 

Part 15 - Bildmaß und Substitutionsformel


YouTube PDF


 

Part 16 - Substitutionsformel für Maßräume - Beweis


YouTube PDF


 

Part 17 - Produktmaß und Prinzip von Cavalieri


YouTube PDF


 

Part 18 - Prinzip von Cavalieri - Beispiel


YouTube PDF


 

Part 19 - Satz von Fubini


YouTube PDF


 

Part 20 - Äußere Maße - Teil 1


YouTube PDF


 

Part 21 - Äußere Maße - Teil 2: Beispiele


YouTube PDF


 


Summary of the course Maßtheorie


Do you search for another mathematical topic?