Maßtheorie

Hier findest du die deutsche Videos zur Maßtheorie.

Teil 1 - Sigma-Algebra

Wir lernen was eine Sigma-Algebra ist, da wir diese für die Konstruktion von Maßen benötigen werden.


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Im nächsten Video lernen wir, wie wir Sigma-Algebren bilden.

Part 2 - Borel’sche Sigma-Algebra

Nun können wir über spezielle Sigma-Algebren sprechen. Die wichtigste ist die sogenannte Borel’sche Sigma-Algebra. Diese wird im allgemeinen mit topologischen Räumen oder metrischen Räumen definiert. Insbesondere hat die reelle Zahlengerade $ \mathbb{R} $$ eine wohldefinierte Borel-Sigma-Algebra.


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Part 3 - Was ist ein Maß?

Jetzt können wir endlich die Definition eines Maß geben. Diese benötigt eine Sigma-Algebra als Definitionsbereich.


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Part 4 - Nicht alles ist Lebesgue-messbar

Das nächste Video greift das Maßproblem wieder auf und zeigt, warum wir wirklich mit Sigma-Algebren hantieren müssen. Für das gewünschte Lebesgue-Maß mit notwendigen Eigenschaften können nicht alle Mengen meßbar sein. Genau eine solche nicht-meßbare Menge konstruieren wir in diesem Video.


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Part 5 - messbare Abbildungen

Ein wichtiger Begriff für die Integration ist gegeben durch sogenannte messbare Abbildungen. Diese kann man allgemein definieren und erklären grob einfach, dass die Struktur der Sigma-Algebren durch die Abbildung berücksichtigt wird. Diese Abbildungen werden später diejenigen sein, die wir integrieren können.


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Part 6 - Lebesgue-Integral

Nach der ganzen Vorarbeit sind wir nun an dem Punkt, an welchem wir endlich das Integral definieren können. Zur Unterscheidung des klassischen Riemann-Integrals werden wir hier nun von dem Lebesgue-Integral sprechen.


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Part 7 - Integraleigenschaften und Satz von der monotonen Konvergenz

Der Integralbegriff, den wir definiert haben, hat viele hilfreiche Eigenschaften, die auch leicht zu zeigen sind. Des Weiteren werden wir hier auch den wichtigen Satz der monotonen Konvergenz besprechen.


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Part 8 - Satz von der monotonen Konvergenz (Beweis)

Nachdem wir den Satz der monotonen Konvergenz beschrieben haben, können wir uns auch an einem Beweis versuchen.


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Part 9 - Lemma von Fatou

Man sollte sich nicht von dem Namen täuschen lassen. Dieses Lemma ist richtiges Konvergenztheorem, was man sich auf jeden Fall merken sollte.


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Part 10 - Satz von Lebesgue oder Satz von der majorisierten Konvergenz

Das nächste Konvergenztheorem trägt oft nur den Namen von Lebesgue und zeigt damit auch die Wichtigkeit aus. Um dieses anzuwenden brauchen wir eine sogenannte integrierbare Majorante.


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Part 11 - Beweis des Satzes von Lebesgue

Jetzt sind wir soweit, den Beweis des Satzes von der majorisierten Konvergenz aufschreiben zu können.


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Part 12 - Fortsetzungssatz von Carathéodory

Das folgende Theorem über die Konstruktion von Maßen ist eines der wichtigsten in diesem Kurs. Es zeigt uns, dass wie wir mit wenigen Grundvoraussetzungen eine Sigma-Algebra und ein Maß konstruieren können.


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Part 13 - Lebesgue-Stieltjes-Maße


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Part 14 - Satz von Radon-Nikodým und Zerlegungssatz von Lebesgue


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Part 15 - Bildmaß und Substitutionsformel


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Part 16 - Substitutionsformel für Maßräume - Beweis


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Part 17 - Produktmaß und Prinzip von Cavalieri


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Part 18 - Prinzip von Cavalieri - Beispiel


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Part 19 - Satz von Fubini


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Part 20 - Äußere Maße - Teil 1


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Part 21 - Äußere Maße - Teil 2: Beispiele


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Summary of the course Maßtheorie


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