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Title: Nicht alles ist Lebesgue-messbar
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Series: Maßtheorie
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YouTube-Title: Maßtheorie - Part 4 - Nicht alles ist Lebesgue-messbar
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Quiz Content
Q1: Existiert ein Maß $\mu: \mathcal{P}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}$ mit den zwei Eigenschaften: $$ \mu([a,b]) = b-a $$ für alle Intervalle $[a,b]$ mit $a < b$ und $$ \mu(x+A) = \mu(A) $$ für alle $A \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$ und $x \in \mathbb{R}$?
A1: Ja, es existiert genau ein einziges.
A2: Ja, es existieren viele solcher Maße.
A3: Nein, es gibt kein solches Maß.
Q2: Exisitert ein Maß $\mu: \mathcal{P}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathbb{R}$ mit den zwei Eigenschaften: $$ \mu((0,1]) < \infty $$ und $$ \mu(x+A) = \mu(A) $$ für alle $A \in \mathcal{P}(\mathbb{R})$ und $x \in \mathbb{R}$?
A1: Ja, es existiert genau ein einziges.
A2: Ja, es existieren viele solcher Maße.
A3: Nein, es gibt kein solches Maß.
Q3: Indem man das Auswahlaxiom anwendet, kann man Mengen $A_n \in\mathcal{P}(\mathbb{R}) $ konstruieren, sodass $$ C \leq \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n) \leq 3 C $$ , wobei $\mu$ die Translationsinvariante mit $C := \mu( (0,1] )$ ist.
A1: Nein, dass ist nicht korrekt weil $C = \mu(\mathbb{R})$.
A2: Nein, dass ist nicht korrekt weil $\mu$ nicht Translationsinvariant sein muss.
A3: Ja, dass ist korrekt.
