Q1: Sei $V$ ein Vektorraum mit Skalarprodukt $\langle \cdot, \cdot \rangle$. Was ist keine korrekte Formulierung für die Cauchy-Schwarz Ungleichung?

A1: $\langle x, y \rangle \leq \langle x, x \rangle \langle y, y \rangle $

A2: $|\langle x, y \rangle|^2 \leq \langle x, x \rangle \langle y, y \rangle $

A3: $|\langle x, y \rangle| \leq | x | | y| $

A4: $\frac{\langle x, y \rangle}{| x | | y|} \in [-1,1] $ für $x \neq 0 \neq y$.

Q2: Fourierreihen werden definiert für periodische Funktionen. Z.B. wird eine Funktion $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ $5$-periodisch genannt, wenn die Nummer $5$ eine Periode ist. Dies bedeutet $f(x + 5 ) = f(x)$ für alle $ x \in \mathbb{R}$. Welche der folgende Funktionen ist nicht $5$-periodisch?

A1: $ f(x) = \sin(5 x)$

A2: $ f(x) = 5$

A3: $f(x) = \sin( 2\pi x) $

A4: $f(x) = \cos( \frac{2\pi}{5} x) $

Q3: Sei $\langle \cdot, \cdot \rangle$ das Skalarprodukt in $\mathcal{P}([-1,1], \mathbb{R})$ gegeben durch $\langle f, g\rangle = \int_{-1}^1 f(x) g(x), dx$. Welche Polynome sind zueinander orthogonal? Beachte dass $f,g$ orthogonal sind, wenn $\langle f, g\rangle =0$ gilt.

A1: $f(x) = x^2$ und $g(x) = x$

A2: $f(x) = x^2$ und $g(x) = 1$

A3: $f(x) = x$ und $g(x) = x$

A4: $f(x) = x^2$ und $g(x) = x^2$